Seguramente a alguien se le habrá ocurrido ya, incluso puede que alguien lo haya demostrado o refutado, aunque ésto último es menos probable por la dificultad de demostrar resultados donde intervienen los números primos, pero es que se me acaba de ocurrir y lo veo bastante probable que sea verdad, ¿quién sabe? Igual un día salgo en los libros o aunque sea en los blogs de matemáticas. ¿Estaremos ante una nueva "Conjetura de Goldbach"? Jajajaja.... ¡NO!
Conjetura de Balderas:
"Sea A un número natural de n cifras. Entonces existe B un número primo mayor o igual que A tal que las primeras cifras de B coinciden con el número A".
En otras palabras: "Existen números primos que empiezan por cualquier combinación de cifras que se te ocurra".
¿Qué decís? Yo lo veo bastante probable. Teniendo en cuenta la infinitud de los números primos, que A es finito y el "Teorema de los Infinitos Monos" debe de ser cierto. ¿No?
Bueno, se me ocurre lo siguiente:
ResponderEliminarSupongamos que podemos acotar el problema para una longitud concreta pero arbitrariamente grande.
Se trataría de que exista al menos un numero primo en el rango
[A * 10^N , (A+1)*10^N -1]
Según π(x), habría alrededor de (π((A+1)*10^N-1) - π(A*10^N)) números primos.
Podemos aproximar π(x) a Li(x)
Li(x) = x/ln(x),
Tendríamos como aproximación:
10^N/((ln(A)+N(ln(10)))*(ln(A+1)*N(ln(10))))
->
10^N/(K*(N^2) + Q*N + C)
Con lo que podemos precisar que cuanto mayor sea N, más números primos habrá que empiecen por A, al ser una función creciente con N como variable. Y finalmente podemos asegurar que existen infinitos números primos que comienzan por A.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos
Estadísticamente indica que es así, pero no lo demuestra... Es más, hay intervalos gigantescos sin ni un solo número primo.
ResponderEliminarYa, hay intervalos arbitrariamente grandes sin números primos, pero con matices, en los números en los que te mueves son exponencial mente más grandes.
ResponderEliminarSi estadísticamente algo tiene una probabilidad de 1 es que ocurrirá, aunque tienes razón, la probabilidad no puede ser usada para una demostración, por eso la función π(x) no determina la probabilidad de que un numero sea primo, determina cuantos números primos hay exactamente, y Li(x) es una acotación a la baja de π(x).
El caso es: en cierto intervalo seguro que va a haber números, y es muy probable que en intervalos exponencialmente más grandes que el número A en cuestión la probabilidad de que exista un número primo empiece por A tiende a 1 pero.... ¿Existen números primos que empiecen por cualquier cadena aleatoria de cifras? La intuición y la probabilidad indican que sí pero.... ¿cómo probarlo?
ResponderEliminarÉsto me está gustando tanto que se lo voy a plantear a algunos profesores cuando terminen las vacaciones.
No es muy difícil construir una función que acote superiormente la cantidad de números primos, y la que acota inferiormente el numero de primos ya esta definida, ahora solo falta demostrar que entre la acotación superior de A*10^N, y la acotación inferior de (A+1)*10^N -1 hay números primos, y ya tendrías una demostración formal de lo que buscabas.
ResponderEliminarAhora lo he entendido, tienes razón, bastaría con eso...
ResponderEliminarPero, ¿cómo demostrar que tiene que existir algún N para que el intervalo tal y como tú lo has definido contenga a la fuerza un número primo, y si da la casualidad de que no para todo N.
ResponderEliminarLo sé, la intuición y la probabilidad indican que no... pero...
Lo que ha escrito ese anon ahí arriba no prueba nada. Que haya muchos números primos no quiere decir que haya siempre uno que cumpla lo que le pongas, para nada.
ResponderEliminarEsta "conjetura" (aunque apostaría que realmente no es tal, raro me parecería que algo tan sencillo no se le hubiese ocurrido a nadie) me recuerda al hecho de que la constante de Coperland-Ërdos es un numero normal (lo cual apoyaría el hecho de que quizá sea posible esa hipótesis) y me recuerda también al teorema de Green-Tao, pero aún así este teorema no probaría la veracidad de esto.